Nota Interaktif Matematik STPM
Belajar, ingat dan latih setiap Standard Pembelajaran STPM Tingkatan 6 (STPM Mathematics T), 100% ikut dokumen kurikulum. Siapkan semua unit untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.
Semester 1Functions and Equations
Standard Pembelajaran (6)
- 1.1.1Define a function and state the domain and range of a function;
- 1.1.2Identify polynomial and rational functions, and sketch their graphs;
- 1.1.3Identify exponential and logarithmic functions, and sketch their graphs;
- 1.1.4Relate the graphs of y = f (x) + c, y = f (x+ c), y = cf (x), y = f (cx), y = −f (x) and y = f (−x) to the graph of y = f (x);
- 1.1.5Use the condition for the existence of the inverse of a function;
- 1.1.6Find the inverse of a one-to-one function, and relate the graphs of a one-to-one function and its inverse.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Secara berpasangan, murid menyemak lima set pasangan tertib dan menentukan yang mana ialah fungsi dengan ujian garis mencancang (vertical line test), kemudian menyatakan domain (domain) dan julat (range) setiap satu secara lisan.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pasangan dan soal jawab lisan tentang domain dan julat.
SP disasar: 1.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menggunakan perisian graf percuma untuk memplot fungsi polinomial, nisbah, eksponen dan logaritma, lalu melakar setiap graf dengan menandakan pintasan dan asimptot (asymptote) pada kertas graf.
Bukti hasil kerja: Lakaran graf bertanda pintasan dan asimptot dalam buku latihan.
SP disasar: 1.1.2, 1.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menggerakkan peluncur nilai c dalam perisian graf untuk f(x) + c, f(x + c), cf(x), f(cx), −f(x) dan f(−x), kemudian menjadualkan perubahan bentuk graf dan menyimpulkan peraturan penjelmaan.
Bukti hasil kerja: Jadual hasil dapatan kumpulan dan kesimpulan peraturan penjelmaan graf.
SP disasar: 1.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid diberi tiga fungsi dan menilai sama ada songsangnya wujud menggunakan ujian garis mengufuk (horizontal line test); mereka mencari songsang yang wujud, memplot f dan f⁻¹ serta mewajarkan simetri pada garis y = x.
Bukti hasil kerja: Jawapan bertulis dengan justifikasi ujian garis mengufuk dan graf f serta f⁻¹.
SP disasar: 1.1.5, 1.1.6 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini membina kefahaman tentang fungsi (function), domain dan julat (range), graf fungsi polinomial, nisbah, eksponen dan logaritma, penjelmaan graf serta fungsi songsang (inverse function).
Fungsi, domain dan julat
Fungsi (function) f daripada set A ke set B ialah hubungan yang memetakan setiap unsur x dalam A kepada tepat satu unsur f(x) dalam B. Domain (domain) ialah set semua nilai x yang dibenarkan; julat (range) ialah set semua nilai f(x) yang terhasil. Contoh: f(x) = √(x − 2) mempunyai domain x ≥ 2 dan julat f(x) ≥ 0.
Fungsi songsang (inverse function)
- Syarat kewujudan: f⁻¹ wujud jika dan hanya jika f ialah fungsi satu-dengan-satu (one-to-one).
- Ujian garis mengufuk (horizontal line test): setiap garis mengufuk menyilang graf paling banyak sekali.
- Domain f⁻¹ = julat f; julat f⁻¹ = domain f.
- Graf y = f⁻¹(x) ialah pantulan graf y = f(x) pada garis y = x.
Standard Pembelajaran (6)
- 1.2.1Use the remainder theorem and factor theorem;
- 1.2.2Solve polynomial and rational inequalities;
- 1.2.3Use logarithms to solve exponential equations;
- 1.2.4Use the properties of absolute value to solve a linear or quadratic modulus inequality with one modulus;
- 1.2.5Sketch the graphs of y = |f(x)| and y = f(|x|) for linear and quadratic functions;
- 1.2.6Solve a linear or quadratic modulus inequality with two moduli.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid memadankan kad: pernyataan teorem baki (remainder theorem) dan teorem faktor (factor theorem), sifat nilai mutlak (absolute value) serta langkah menyelesaikan ketaksamaan nisbah, dengan contoh mudah.
Bukti hasil kerja: Kad padanan yang disemak guru dan soal jawab ringkas.
SP disasar: 1.2.1, 1.2.2, 1.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menyelesaikan satu set masalah berpandu: mencari baki dan faktor polinomial, menyelesaikan ketaksamaan polinomial melalui garis nombor, dan menyelesaikan 3^x = 20 dengan logaritma.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja langkah demi langkah dan semakan jawapan akhir.
SP disasar: 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid melakar y = |f(x)| dan y = f(|x|) bagi fungsi linear dan kuadratik dengan perisian graf, membandingkan perbezaannya, lalu menyelesaikan ketaksamaan modulus satu modulus secara graf dan aljabar.
Bukti hasil kerja: Lakaran graf bandingan dan penyelesaian graf serta aljabar yang sepadan.
SP disasar: 1.2.4, 1.2.5 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menyelesaikan |x − 1| > |2x + 1| dengan dua kaedah (kuasa dua kedua-dua belah dan kes selang), menyemak dengan graf, kemudian menilai kaedah yang lebih cekap dan menjelaskan sebabnya.
Bukti hasil kerja: Penyelesaian dua kaedah dan ulasan bertulis pilihan kaedah.
SP disasar: 1.2.6 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menggunakan teorem baki dan teorem faktor, menyelesaikan ketaksamaan polinomial dan nisbah, persamaan eksponen dengan logaritma, serta ketaksamaan modulus (modulus inequality) dan graf modulus.
Teorem baki dan teorem faktor
Teorem baki (remainder theorem): apabila polinomial P(x) dibahagi dengan (x − a), bakinya ialah P(a); jika dibahagi dengan (ax − b), bakinya P(b/a). Teorem faktor (factor theorem): (x − a) ialah faktor P(x) jika dan hanya jika P(a) = 0.
Semester 1Sequences and Series
Standard Pembelajaran (3)
- 2.1.1Use an explicit formula or a recursive formula to find terms of a sequence;
- 2.1.2Show that a sequence given by an explicit formula satisfies a certain recurrence relation;
- 2.1.3Use mathematical induction to verify an explicit formula for the general term of a sequence with a recursive formula.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menghuraikan beza rumus tak rekursi (explicit formula) dan rumus rekursi (recursive formula) melalui pasangan kad, kemudian menyenaraikan lima sebutan pertama jujukan daripada setiap jenis rumus.
Bukti hasil kerja: Senarai sebutan jujukan dan penerangan lisan beza dua jenis rumus.
SP disasar: 2.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menunjukkan bahawa uₙ = 2ⁿ + 1 memenuhi uₙ₊₁ = 2uₙ − 1 dengan menggantikan terus, kemudian mengulang untuk dua jujukan lain yang diberi guru.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja penggantian algebra tiga jujukan.
SP disasar: 2.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menjana jujukan rekursi dengan hamparan (spreadsheet), meneka rumus tak rekursi daripada corak sebutan, lalu membandingkan tekaan antara kumpulan sebelum pembuktian.
Bukti hasil kerja: Hamparan jujukan dan nota tekaan rumus kumpulan.
SP disasar: 2.1.1, 2.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid membukti dengan aruhan matematik (mathematical induction) bahawa uₙ = n² bagi u₁ = 1, uₙ₊₁ = uₙ + 2n + 1, kemudian menilai bukti rakan menggunakan senarai semak langkah asas dan langkah aruhan.
Bukti hasil kerja: Bukti bertulis dan borang semak rakan sebaya.
SP disasar: 2.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menggunakan rumus tak rekursi (explicit formula) dan rumus rekursi (recursive formula) bagi jujukan (sequence), menunjukkan hubungan jadi semula (recurrence relation) dan mengesahkan rumus dengan aruhan matematik (mathematical induction).
Standard Pembelajaran (3)
- 2.2.1Find and use the binomial expansion of (a + b)^n, where n ∈ ℤ+;
- 2.2.2Find and use the binomial expansion of (1 + x)^n, where n ∈ ℚ and |x| < 1;
- 2.2.3Use mathematical induction to verify a formula for the sum of the first n terms of a series.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid melengkapkan segi tiga Pascal hingga baris ke-6 dan menyatakan rumus kembangan binomial (binomial expansion) dengan sebutan ke-(r + 1), kemudian menguji ingatan melalui kuiz lisan berpasangan.
Bukti hasil kerja: Segi tiga Pascal lengkap dan jawapan kuiz lisan.
SP disasar: 2.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengembangkan (2 + x)⁵ dan (1 − 2x)⁻² hingga sebutan x², dengan menyatakan syarat |x| yang menjadikan kembangan sah.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kembangan dengan syarat kesahan dinyatakan.
SP disasar: 2.2.1, 2.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menggunakan kembangan binomial untuk menganggar (1.02)^10 dan (0.98)^−3, membandingkan dengan kalkulator, dan menganalisis bagaimana saiz x mempengaruhi ralat.
Bukti hasil kerja: Jadual anggaran lawan nilai tepat dan ulasan ralat.
SP disasar: 2.2.1, 2.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid membukti dengan aruhan bahawa ∑ r (r = 1 hingga n) = n(n + 1)/2 dan satu formula jumlah lain, kemudian menilai kekuatan bukti rakan dan membetulkan langkah yang tidak lengkap.
Bukti hasil kerja: Bukti aruhan bertulis dan maklum balas rakan sebaya.
SP disasar: 2.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini meliputi kembangan binomial (binomial expansion) (a + b)ⁿ bagi n integer positif dan (1 + x)ⁿ bagi n nisbah dengan |x| < 1, serta aruhan matematik untuk hasil tambah siri (series).
Tahukah anda
Kembangan (1 + x)^(1/2) memberi anggaran punca kuasa dua: √1.02 ≈ 1 + 0.01 − 0.00005 = 1.00995, iaitu tepat hingga 5 tempat perpuluhan.
Semester 1Matrices and Systems of Linear Equations
Standard Pembelajaran (3)
- 3.1.1Perform addition, subtraction, scalar multiplication and matrix multiplication for matrices that have three rows or three columns;
- 3.1.2Use the properties of matrix operations and use the result AA^−1 = A^−1A = I;
- 3.1.3Use the adjoint of a matrix to find the inverse of an invertible 3 × 3 matrix.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid berpasangan menyelesaikan tambah, tolak dan darab skalar matriks 3 × 3 pada kad latihan, menyebut peraturan bilangan lajur dan baris sebelum mendarab dua matriks.
Bukti hasil kerja: Kad latihan operasi matriks dan penjelasan lisan syarat pendaraban.
SP disasar: 3.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira darab matriks 3 × 3, menentukan jika AB = BA dan mengesahkan sifat operasi, kemudian menggunakan AA⁻¹ = I apabila A² − 5A + 6I = 0.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan pengesahan sifat.
SP disasar: 3.1.1, 3.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mengira kofaktor, penentu dan adjoin (adjoint) matriks 3 × 3 langkah demi langkah, kemudian menyemak songsang yang diperoleh dengan mendarab A dan A⁻¹.
Bukti hasil kerja: Jadual kofaktor dan semakan A × A⁻¹ = I.
SP disasar: 3.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada tiga matriks 3 × 3 tak singular (invertible) melalui penentu, mewajarkan keputusan, lalu mencari songsang yang wujud dan menyemaknya dengan perisian matriks.
Bukti hasil kerja: Justifikasi penentu bertulis dan semakan perisian.
SP disasar: 3.1.2, 3.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini melibatkan operasi matriks (matrix) dengan tiga baris atau tiga lajur, sifat operasi matriks, hasil AA⁻¹ = A⁻¹A = I dan penggunaan adjoin (adjoint) untuk mencari songsang matriks 3 × 3.
Operasi matriks
- Tambah/tolak: hanya bagi matriks peringkat sama; operasi unsur demi unsur.
- Pendaraban skalar kA: setiap unsur didarab k.
- Pendaraban AB tertakrif jika bilangan lajur A = bilangan baris B; (m × n)(n × p) memberi m × p.
- Unsur (i, j) bagi AB = hasil darab baris i A dengan lajur j B.
Standard Pembelajaran (3)
- 3.2.1Reduce an augmented matrix to row-echelon form to determine whether a system of linear equations in three variables has a unique solution, infinitely many solutions or no solution;
- 3.2.2Apply the Gaussian elimination to find the unique solution or infinitely many solutions of a consistent system of linear equations in three variables;
- 3.2.3Represent a system of linear equations in three variables by a matrix equation and use the inverse of the coefficient matrix to find the unique solution.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menghuraikan bentuk eselon baris (row-echelon form) bagi tiga contoh sistem yang telah dikurangkan dan menjelaskan secara lisan sama ada penyelesaian unik, tak terhingga atau tiada.
Bukti hasil kerja: Penjelasan lisan dan jadual klasifikasi tiga contoh.
SP disasar: 3.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menyelesaikan x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 dengan penghapusan Gauss (Gaussian elimination) dan menulis langkah operasi baris dengan jelas.
Bukti hasil kerja: Penyelesaian langkah demi langkah dan semakan penggantian.
SP disasar: 3.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis sistem berparameter k dan menentukan nilai k yang menghasilkan penyelesaian unik, tak terhingga atau tiada, dengan membandingkan bentuk eselon baris.
Bukti hasil kerja: Analisis nilai k dengan jadual kes bagi setiap jenis penyelesaian.
SP disasar: 3.2.1, 3.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid mewakili sistem tiga pemboleh ubah sebagai AX = B, menyelesaikannya dengan A⁻¹, lalu membandingkan kecekapan kaedah matriks songsang dengan penghapusan Gauss dan menilai pilihan terbaik.
Bukti hasil kerja: Penyelesaian dua kaedah dan ulasan perbandingan.
SP disasar: 3.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menggunakan matriks imbuhan (augmented matrix), bentuk eselon baris (row-echelon form), penghapusan Gauss (Gaussian elimination) dan matriks songsang untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga pemboleh ubah.
Kaedah matriks songsang
Sistem ditulis sebagai AX = B dengan A matriks pekali, X = (x, y, z) dan B lajur pemalar. Jika |A| ≠ 0, maka X = A⁻¹B memberi penyelesaian unik.
Semester 1Complex Numbers
Standard Pembelajaran (3)
- 4.1.1Identify complex numbers, z = a + bi, and use conditions for the equality of two complex numbers;
- 4.1.2Perform elementary operations on two complex numbers;
- 4.1.3Solve polynomial equations with real coefficients.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid memadankan kad istilah nombor kompleks (complex number): bahagian nyata, bahagian khayal, konjugat dan syarat kesamaan z₁ = z₂ dengan takrifnya.
Bukti hasil kerja: Kad padanan istilah dan soal jawab lisan.
SP disasar: 4.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid melakukan tambah, tolak, darab dan bahagi dua nombor kompleks, contohnya (3 + 4i)/(1 + 2i) dengan mendarab konjugat, dan menyelesaikan z₁ = z₂ untuk mencari a dan b.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja operasi langkah demi langkah.
SP disasar: 4.1.1, 4.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis punca persamaan polinomial berpekali nyata dan menerangkan mengapa punca kompleks hadir berpasangan konjugat menggunakan z³ − 3z² + 4z − 2 = 0 dengan 1 + i sebagai punca.
Bukti hasil kerja: Penyelesaian dan penjelasan pasangan konjugat.
SP disasar: 4.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu polinomial kubik berpekali nyata yang mempunyai punca 2 dan 1 − 3i, menulis persamaan, mengembangkannya dan menyemak dengan penggantian.
Bukti hasil kerja: Polinomial rekaan, pengembangan dan semakan penggantian.
SP disasar: 4.1.3 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini memperkenalkan nombor kompleks (complex number) z = a + bi dalam bentuk Cartes, syarat kesamaan, operasi asas dan penyelesaian persamaan polinomial berpekali nyata.
Istilah asas
- i
- Unit khayalan (imaginary unit), i² = −1
- Bahagian nyata Re(z)
- a dalam z = a + bi
- Bahagian khayalan Im(z)
- b dalam z = a + bi (nombor nyata)
- Konjugat z* (conjugate)
- a − bi
- Modulus |z|
- √(a² + b²)
Kesamaan dua nombor kompleks
a + bi = c + di jika dan hanya jika a = c dan b = d. Contoh: (x + 2) + (y − 1)i = 5 + 3i memberi x = 3 dan y = 4.
Standard Pembelajaran (3)
- 4.2.1Convert a complex number from Cartesian form to polar form z = r(cos θ + i sin θ);
- 4.2.2Perform multiplication and division of two complex numbers in polar form;
- 4.2.3Use de Moivre’s theorem to find the integral powers and nth roots of a complex number.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid memetakan nombor kompleks pada gambar rajah Argand (Argand diagram) dan menerangkan modulus serta hujah (argument) secara lisan.
Bukti hasil kerja: Gambar rajah Argand dan penerangan modulus dan hujah.
SP disasar: 4.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menukar z kepada bentuk kutub r(cos θ + i sin θ), lalu mendarab dan membahagi dua nombor kompleks dalam bentuk kutub dengan mendarab modulus dan menambah hujah.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pertukaran dan darab bentuk kutub.
SP disasar: 4.2.1, 4.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menggunakan perisian geometri dinamik untuk menganalisis kesan darab dengan nombor kompleks pada putaran dan pembesaran titik, kemudian menyatakan kesimpulan.
Bukti hasil kerja: Tangkapan skrin perisian dan kesimpulan kumpulan.
SP disasar: 4.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid menggunakan teorem de Moivre (de Moivre’s theorem) untuk mencari punca ke-n bagi 1 dan 8i, melukis kedudukan punca pada rajah Argand, dan menerangkan simetri bentuk poligon yang terhasil.
Bukti hasil kerja: Rajah Argand dan penerangan poligon punca.
SP disasar: 4.2.3 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menukar nombor kompleks ke bentuk kutub (polar form) z = r(cos θ + i sin θ), mendarab dan membahagi dalam bentuk kutub, serta menggunakan teorem de Moivre (de Moivre's theorem) untuk kuasa dan punca ke-n.
Semester 1Analytic Geometry
Standard Pembelajaran (3)
- 5.1.1Find the focus and directrix of the parabola (y − k)^2 = 4a(x − h) and sketch the parabola;
- 5.1.2Find the foci of the ellipse (x − h)^2/a^2 + (y − k)^2/b^2 = 1 and sketch the ellipse;
- 5.1.3Find the foci of the hyperbola (x − h)^2/a^2 − (y − k)^2/b^2 = 1 and sketch the hyperbola.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid memadankan persamaan piawai parabola, elips dan hiperbola (conics) dengan sifat utama: fokus, direktriks, paksi dan pusat pada kad.
Bukti hasil kerja: Kad padanan persamaan dan sifat.
SP disasar: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menukar persamaan umum kepada bentuk piawai melalui penyempurnaan kuasa dua, mencari fokus dan direktriks parabola, serta fokus elips dan hiperbola.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja penyempurnaan kuasa dua dan fokus.
SP disasar: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memplot satu keluarga konik dengan peluncur dalam perisian graf dan menganalisis bagaimana pemalar a, b, h, k mengubah bentuk dan kedudukan, kemudian melakar hasilnya.
Bukti hasil kerja: Lakaran dan nota kesan a, b, h dan k.
SP disasar: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka bentuk lengkung satu cermin parabola atau terowong elips, menulis persamaan, menentukan fokusnya dan menjustifikasi lokasi pemasangan sumber cahaya.
Bukti hasil kerja: Reka bentuk, persamaan dan justifikasi fokus.
SP disasar: 5.1.1, 5.1.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini mencari fokus (focus) dan direktriks (directrix) parabola, fokus elips (ellipse) dan hiperbola (hyperbola), serta melakar keratan kon (conics) tersebut.
Standard Pembelajaran (3)
- 5.2.1Sketch a simple curve with a parametric equation for a given set of values of the parameter and indicate the direction of the curve corresponding to increasing values of the parameter;
- 5.2.2Find a Cartesian equation of a curve with parametric equations and use it to sketch the curve;
- 5.2.3Sketch a curve with polar equation for 0 < θ < 2π or its subset, and r > 0.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menghuraikan makna parameter t dengan memplot titik (x(t), y(t)) bagi nilai t berbeza dan menandakan arah lengkung apabila t bertambah.
Bukti hasil kerja: Jadual nilai t dan lakaran dengan anak panah arah.
SP disasar: 5.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menghapuskan parameter untuk mendapat persamaan Cartesan, melakar lengkung, dan melakar lengkung kutub r = f(θ) dengan jadual nilai θ.
Bukti hasil kerja: Persamaan Cartesan dan lakaran lengkung kutub.
SP disasar: 5.2.2, 5.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan lakaran lengkung kutub dengan perisian graf bagi r = 1 + cos θ dan r = 2 sin θ, serta menganalisis simetri dan titik penting.
Bukti hasil kerja: Lakaran bandingan dan ulasan simetri.
SP disasar: 5.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu persamaan berparameter yang menghasilkan bulatan atau elips tertentu, membuktikan persamaan Cartesannya dan menunjukkan arah lengkung.
Bukti hasil kerja: Persamaan parameter rekaan, bukti dan lakaran.
SP disasar: 5.2.1, 5.2.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini melakar lengkung berparameter (parametric curve) dengan arah, menukar persamaan berparameter kepada persamaan Cartes, dan melakar lengkung kutub (polar curve).
Hubungan kutub-Cartes
x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y². Untuk melakar, bina jadual nilai θ (cth 0, π/6, π/4, π/3, π/2, ...), kira r, dan plot hanya titik dengan r > 0 dalam julat θ yang diberi.
Semester 1Vectors and Geometry
Standard Pembelajaran (6)
- 6.1.1Use a directed line segment to represent a vector geometrically and use the base vectors, i, j and k, to represent a position vector algebraically;
- 6.1.2Calculate the magnitude of a vector and find a unit vector in the direction of a given vector;
- 6.1.3Perform addition and subtraction of vectors and the multiplication of a vector by a scalar;
- 6.1.4Use the ratio theorem in geometrical applications;
- 6.1.5Find the scalar product of two vectors and use its properties;
- 6.1.6Find the vector product of two vectors and use its properties.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menyatakan vektor posisi menggunakan i, j, k dan menulis rumus magnitud, vektor unit, hasil darab skalar dan hasil darab vektor pada kad rumus.
Bukti hasil kerja: Kad rumus vektor yang lengkap dan betul.
SP disasar: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.5, 6.1.6 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menambah, menolak vektor dan mendarab dengan skalar, mengira magnitud, vektor unit, dan menggunakan teorem nisbah (ratio theorem) pada segi tiga yang diberi.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan vektor dan nisbah.
SP disasar: 6.1.2, 6.1.3, 6.1.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menggunakan model kubus daripada kad untuk menganalisis sudut antara dua vektor melalui hasil darab skalar dan luas segi tiga melalui hasil darab vektor.
Bukti hasil kerja: Pengiraan sudut dan luas serta penerangan kumpulan.
SP disasar: 6.1.5, 6.1.6 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu masalah geometri 3D, contohnya mencari jarak dari titik ke garis, menggunakan sifat hasil darab skalar dan vektor, dan menulis penyelesaian lengkap.
Bukti hasil kerja: Masalah rekaan dan penyelesaian bertulis.
SP disasar: 6.1.1, 6.1.5, 6.1.6 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini mewakilkan vektor (vector) dalam tiga dimensi secara geometri dan algebra, mengira magnitud dan vektor unit, menjalankan operasi vektor, teorem nisbah (ratio theorem), hasil darab skalar (scalar product) dan hasil darab vektor (vector product).
Perwakilan vektor
Vektor diwakili tembereng garis berarah (directed line segment) AB dengan panjang = magnitud dan anak panah = arah. Vektor kedudukan titik P(x, y, z) ialah OP = xi + yj + zk dengan i, j, k vektor asas (base vectors). AB = OB − OA. Magnitud |xi + yj + zk| = √(x² + y² + z²); vektor unit â = a/|a|.
Standard Pembelajaran (6)
- 6.2.1Find the vector equation of a line in the form r = a + λb, given a point on the line and a direction vector;
- 6.2.2Find the vector equation of a plane in the form r · n = d, given a point on the plane and a perpendicular vector;
- 6.2.3Convert the vector equation of a line or a plane to its Cartesian equation and vice versa;
- 6.2.4Find the coordinates of the point of intersection of two intersecting lines and determine the angle between the two intersecting lines;
- 6.2.5Find the coordinates of the point of intersection of a line and a plane, and determine the angle between the line and the plane;
- 6.2.6Find the equation of the line of intersection of two non-parallel planes and determine the angle between the two non-parallel planes.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan makna a, b dalam r = a + λb dan n dalam r · n = d dengan model garis dan satah daripada lidi dan kad.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan model lidi serta kad.
SP disasar: 6.2.1, 6.2.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menukar persamaan vektor garis dan satah kepada persamaan Cartesan dan sebaliknya, kemudian mencari titik persilangan dua garis dan sudut antaranya.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja penukaran dan persilangan garis.
SP disasar: 6.2.3, 6.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis kedudukan garis dan satah dan menentukan titik persilangan serta sudut garis dan satah menggunakan perisian geometri 3D.
Bukti hasil kerja: Pengiraan dan tangkapan skrin perisian 3D.
SP disasar: 6.2.5, 6.2.6 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka sebuah model bangunan ringkas dengan dua satah dinding, mencari persamaan garis persilangan satah dan sudut antara satah, dan membentangkan penyelesaian.
Bukti hasil kerja: Model rekaan, pengiraan dan pembentangan.
SP disasar: 6.2.2, 6.2.5, 6.2.6 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini membina persamaan vektor garis lurus r = a + λb dan satah r · n = d, menukarnya kepada bentuk Cartes, serta mencari titik persilangan dan sudut antara garis dan satah.
Semester 2Limits and Continuity
Standard Pembelajaran (3)
- 7.1.1Determine whether the limit of f(x) exists as x approaches a and state its value if it exists;
- 7.1.2Use the properties of the limits of functions;
- 7.1.3Find the limit at infinity or negative infinity of a function.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid melengkapkan jadual nilai f(x) yang menghampiri a dari kiri dan kanan menggunakan kalkulator, lalu menyatakan sama ada had (limit) wujud dan nilainya.
Bukti hasil kerja: Jadual nilai dan pernyataan wujud atau tidaknya had.
SP disasar: 7.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menggunakan sifat had (limit laws) untuk menilai had hasil tambah, hasil darab dan hasil bahagi, serta had pada infiniti bagi fungsi nisbah dengan membahagi darjah tertinggi.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja langkah dan sifat had yang dinamakan.
SP disasar: 7.1.2, 7.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memplot fungsi berbeza di sekitar satu titik dengan perisian graf, menganalisis had kiri dan kanan, dan mengelaskan had sebagai wujud, tidak wujud atau menuju infiniti.
Bukti hasil kerja: Jadual klasifikasi had dengan alasan berasaskan graf.
SP disasar: 7.1.1, 7.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai tiga dakwaan salah faham lazim tentang had (contohnya had sama dengan nilai fungsi) dan mewajarkan sama ada setiap dakwaan betul dengan contoh balas.
Bukti hasil kerja: Respons bertulis dengan contoh balas bagi setiap dakwaan.
SP disasar: 7.1.1, 7.1.2 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menentukan kewujudan had (limit) fungsi apabila x menghampiri a, menggunakan sifat had dan mencari had pada infiniti (limit at infinity).
Kewujudan had
lim f(x) apabila x → a wujud jika dan hanya jika had kiri lim(x → a⁻) f(x) dan had kanan lim(x → a⁺) f(x) wujud dan sama. Nilai f(a) tidak semestinya sama dengan had atau tertakrif.
Standard Pembelajaran (3)
- 7.2.1Determine whether a function is continuous at x = c;
- 7.2.2Determine the intervals on which a function is continuous;
- 7.2.3Sketch the graph of a discontinuous function and state the types of discontinuity shown.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menyemak tiga syarat kesinambungan (continuity) pada x = c bagi graf yang diberi dan menerangkan secara lisan syarat yang gagal.
Bukti hasil kerja: Soal jawab lisan dan senarai semak tiga syarat.
SP disasar: 7.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menentukan kesinambungan fungsi cebis demi cebis pada x = c dengan mencari had kiri, had kanan dan f(c), kemudian menyatakan selang kesinambungan fungsi.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan senarai selang kesinambungan.
SP disasar: 7.2.1, 7.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid melakar fungsi tak selanjar, mengelaskan ketakselanjaran sebagai lompatan, boleh ditanggalkan atau tak terhingga, lalu membandingkan lakaran antara kumpulan.
Bukti hasil kerja: Lakaran bertanda jenis ketakselanjaran dan jadual bandingan.
SP disasar: 7.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka bentuk fungsi cebis demi cebis dengan parameter k supaya selanjar pada x = 2, membukti nilai k dan melakar graf yang terhasil.
Bukti hasil kerja: Fungsi rekaan, bukti nilai k dan lakaran graf.
SP disasar: 7.2.1, 7.2.2, 7.2.3 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menentukan keselanjaran (continuity) fungsi pada suatu titik dan pada selang, serta melakar graf fungsi tak selanjar dan menyatakan jenis ketakselanjaran (discontinuity).
Semester 2Differentiation
Standard Pembelajaran (5)
- 8.1.1Define the derivative of a function and differentiate x^n, where n ∈ ℚ, e^x, ln x, sin x, cos x and tan x, with constant multiples, sums and differences;
- 8.1.2Find the derivatives of the products, quotients and composites of functions;
- 8.1.3Perform implicit differentiation;
- 8.1.4Identify inverse sine, inverse cosine and inverse tangent functions and their graphs;
- 8.1.5Differentiate sin−1 x, cos−1 x and tan−1 x.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menulis jadual terbitan x^n, e^x, ln x, sin x, cos x, tan x, sin⁻¹ x, cos⁻¹ x dan tan⁻¹ x, serta takrif terbitan melalui had pada kad ringkas.
Bukti hasil kerja: Jadual terbitan lengkap dan semakan ingatan.
SP disasar: 8.1.1, 8.1.4, 8.1.5 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mendiferensiasi fungsi hasil darab, hasil bahagi dan gubahan menggunakan petua rantai, kemudian melakukan pembezaan tersirat (implicit differentiation) untuk mencari dy/dx.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pembezaan dengan nama petua.
SP disasar: 8.1.2, 8.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis fungsi songsang trigonometri melalui graf, menerbitkan d/dx(sin⁻¹ x) daripada pembezaan tersirat, dan membandingkan dengan rumus piawai.
Bukti hasil kerja: Terbitan rumus dan graf fungsi songsang.
SP disasar: 8.1.4, 8.1.5 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai dua penyelesaian rakan bagi satu masalah pembezaan (satu menggunakan petua hasil darab, satu petua rantai) dan menentukan kaedah yang betul serta lebih cekap.
Bukti hasil kerja: Ulasan bertulis pada dua penyelesaian.
SP disasar: 8.1.2, 8.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini mentakrif terbitan (derivative), membeza fungsi asas, menggunakan petua hasil darab, hasil bahagi dan rantai, pembezaan tersirat (implicit differentiation), serta fungsi trigonometri songsang dan terbitannya.
Takrif terbitan
Terbitan f pada x ditakrif sebagai f′(x) = lim [f(x + h) − f(x)]/h apabila h → 0, jika had ini wujud. Ia mewakili kecerunan tangen kepada lengkung pada titik itu.
Standard Pembelajaran (5)
- 8.2.1Determine the intervals on which a function is increasing and decreasing;
- 8.2.2Use the first derivative test or second derivative test to determine local minimum points and local maximum points;
- 8.2.3Determine the intervals on which a curve is concave upward and concave downward, and find points of inflexion;
- 8.2.4Sketch curves whose equations contain algebraic, exponential or logarithmic expressions, displaying their important features;
- 8.2.5Sketch trigonometric curves for restricted domains displaying their important features.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan kaitan tanda f′(x) dengan fungsi menokok atau menyusut, dan tanda f″(x) dengan kecekungan, menggunakan graf dan jadual tanda.
Bukti hasil kerja: Jadual tanda dan penerangan lisan.
SP disasar: 8.2.1, 8.2.3 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mencari selang menokok dan menyusut, titik pegun, nilai maksimum dan minimum tempatan melalui ujian terbitan pertama atau kedua, serta titik lengkok balas.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja titik pegun dan lengkok balas.
SP disasar: 8.2.1, 8.2.2, 8.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis ciri penting seperti pintasan, asimptot dan titik pegun bagi fungsi algebra, eksponen atau logaritma sebelum melakar lengkung dan menyemak dengan perisian graf.
Bukti hasil kerja: Lakaran lengkung bertanda ciri dan semakan perisian.
SP disasar: 8.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu fungsi kubik atau eksponen yang mempunyai ciri tertentu (contoh: maksimum di x = 1 dan lengkok balas di x = 2), menulis persamaannya dan melakar lengkung. Murid juga melakar fungsi trigonometri pada domain terhad.
Bukti hasil kerja: Fungsi rekaan, pengiraan dan lakaran.
SP disasar: 8.2.4, 8.2.5 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menggunakan terbitan untuk menentukan selang menokok dan menyusut, titik maksimum dan minimum setempat, kecekungan (concavity), titik lengkok balas (point of inflexion) serta melakar lengkung algebra, eksponen, logaritma dan trigonometri.
Ciri penting semasa melakar
- Pintasan paksi
- Asimptot (cth y = eˣ: y = 0; y = ln x: x = 0)
- Titik pegun dan jenisnya
- Titik lengkok balas
- Kelakuan apabila x → ±∞ atau hujung domain terhad
Standard Pembelajaran (2)
- 8.3.1Solve problems concerning rates of change;
- 8.3.2Solve optimisation problems.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menyenaraikan langkah menyelesaikan masalah kadar perubahan (rates of change) berkaitan menggunakan petua rantai dan langkah masalah pengoptimuman (optimisation) pada kad urutan.
Bukti hasil kerja: Susunan langkah penyelesaian yang betul.
SP disasar: 8.3.1, 8.3.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menyelesaikan masalah kadar perubahan seperti belon yang mengembang dan paras air dalam kon, dengan menulis hubungan dan mendiferensiasi terhadap masa.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kadar perubahan berkaitan.
SP disasar: 8.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan isi padu atau luas permukaan sebuah kotak atau tin, mencari ukuran optimum dan menganalisis sama ada titik pegun ialah minimum menggunakan ujian terbitan kedua.
Bukti hasil kerja: Model matematik, ukuran optimum dan ujian.
SP disasar: 8.3.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu masalah pengoptimuman daripada situasi sebenar (contoh: reka bentuk bekas makanan), menyelesaikannya dan menjustifikasi kebolehlaksanaan jawapan.
Bukti hasil kerja: Masalah rekaan, penyelesaian dan justifikasi.
SP disasar: 8.3.1, 8.3.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menyelesaikan masalah kadar perubahan (rates of change) yang berkait dan masalah pengoptimuman (optimisation) menggunakan pembezaan.
Kadar perubahan berkait
Jika A bergantung pada r dan r berubah dengan masa t, maka dA/dt = dA/dr × dr/dt (petua rantai).
Semester 2Integration
Standard Pembelajaran (4)
- 9.1.1Integrate x^n, where n ∈ ℚ, e^x, sin x, cos x and sec^2 x, with constant multiples, sums and differences;
- 9.1.2Integrate the composite of any function in (a) and a linear function;
- 9.1.3Integrate 1/sqrt(a^2 − x^2) and 1/(a^2 + x^2);
- 9.1.4Define a definite integral as a limit of sum and evaluate definite integrals.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menulis jadual kamiran asas x^n, e^x, sin x, cos x, sec² x, 1/√(a² − x²) dan 1/(a² + x²), dan menguji ingatan melalui kuiz kilat berpasangan.
Bukti hasil kerja: Jadual kamiran dan jawapan kuiz.
SP disasar: 9.1.1, 9.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengamiri gubahan fungsi dengan fungsi linear seperti (3x − 1)⁵ dan e^(2x), serta menilai kamiran tentu dengan had atas dan bawah.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kamiran tak tentu dan tentu.
SP disasar: 9.1.1, 9.1.2, 9.1.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganggar luas di bawah lengkung dengan hasil tambah segi empat tepat, kemudian menganalisis bagaimana bilangan segi empat tepat menghampiri kamiran tentu sebagai had hasil tambah (limit of sum).
Bukti hasil kerja: Jadual anggaran dan perbandingan kamiran tentu.
SP disasar: 9.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai tiga langkah kamiran yang mengandungi kesilapan lazim (contoh: lupa pemalar c dan pengganda 1/a) dan menulis pembetulan.
Bukti hasil kerja: Pembetulan bertulis dan penjelasan kesilapan.
SP disasar: 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini mengamir (integrate) fungsi asas, komposit dengan fungsi linear, bentuk 1/√(a² − x²) dan 1/(a² + x²), serta mentakrif kamiran tentu (definite integral) sebagai had hasil tambah.
Standard Pembelajaran (6)
- 9.2.1Recognise integrands of the form kf′(x)g[f(x)] and integrate such functions;
- 9.2.2Use partial fraction decomposition to integrate rational functions;
- 9.2.3Use trigonometric identities to integrate trigonometric functions;
- 9.2.4Perform integration by parts;
- 9.2.5Use substitutions to evaluate integrals involving algebraic, exponential or logarithmic expressions;
- 9.2.6Use substitutions to evaluate trigonometric integrals.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid memadankan jenis kamiran dengan teknik yang sesuai: kf′(x)g[f(x)], pecahan separa, identiti trigonometri, kamiran bahagian dan penggantian, melalui kad padanan.
Bukti hasil kerja: Kad padanan teknik dan kamiran.
SP disasar: 9.2.1, 9.2.2, 9.2.3, 9.2.4, 9.2.5, 9.2.6 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengamiri fungsi nisbah dengan pecahan separa (partial fractions), serta kamiran trigonometri dengan identiti sudut berganda.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pecahan separa dan identiti.
SP disasar: 9.2.2, 9.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis pilihan u dan dv dalam kamiran bahagian (integration by parts) bagi x e^x dan x ln x, membandingkan pilihan yang berjaya dan gagal.
Bukti hasil kerja: Jadual pilihan u dan dv dengan hasil.
SP disasar: 9.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai teknik terbaik bagi lima kamiran (penggantian algebra, eksponen atau trigonometri), menyelesaikannya dan mewajarkan pilihan teknik.
Bukti hasil kerja: Jadual pilihan teknik dan justifikasi.
SP disasar: 9.2.1, 9.2.5, 9.2.6 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini meliputi teknik pengamiran (integration): bentuk kf′(x)g[f(x)], pecahan separa (partial fractions), identiti trigonometri, kamiran bahagian demi bahagian (integration by parts) dan penggantian (substitution).
Bentuk kf′(x)g[f(x)]
Jika integran berbentuk k f′(x) g[f(x)], gantikan u = f(x) supaya du = f′(x) dx; kamiran menjadi k ∫ g(u) du. Kes khas: ∫ f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + c dan ∫ f′(x)[f(x)]ⁿ dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/(n + 1) + c, n ≠ −1.
Standard Pembelajaran (2)
- 9.3.1Calculate the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the coordinate axes, enclosed by a curve and a line, or enclosed by two curves;
- 9.3.2Calculate the volume of a solid generated by revolving a region about the x-axis or y-axis.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan bagaimana luas rantau dikira melalui kamiran dan memilih had yang betul bagi rantau di antara lengkung dan paksi atau di antara dua lengkung.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan lakaran rantau berlorek.
SP disasar: 9.3.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira luas rantau di bawah lengkung, antara lengkung dan garis, dan antara dua lengkung, serta isi padu kisaran (volume of revolution) pada paksi-x.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja luas dan isi padu kisaran.
SP disasar: 9.3.1, 9.3.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis perbezaan kisaran pada paksi-x dan paksi-y bagi rantau yang sama, kemudian mengira dan membandingkan dua isi padu.
Bukti hasil kerja: Dua isi padu dan ulasan bandingan.
SP disasar: 9.3.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka bentuk profil sebuah pasu menggunakan lengkung, mengira isi padu kisarannya dan menyemak dengan model plastisin atau perisian.
Bukti hasil kerja: Profil pasu, pengiraan isi padu dan semakan.
SP disasar: 9.3.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Unit ini menggunakan kamiran tentu untuk mengira luas rantau (area of region) yang dibatasi lengkung dan garis, serta isipadu janaan (volume of solid of revolution) apabila rantau dikisarkan pada paksi-x atau paksi-y.
Semester 2Differential Equations
Standard Pembelajaran (3)
- 10.1.1Find the general solution and a particular solution of a first-order differential equation with separable variables;
- 10.1.2Find and interpret the solution of a first-order differential equation with separable variables in the context of a problem modelled by the differential equation;
- 10.1.3Use a given substitution to transform a first-order differential equation to one with separable variables.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan bentuk persamaan pembezaan pemboleh ubah terpisah (separable variables), perbezaan penyelesaian am dan khusus melalui contoh yang dilengkapkan guru.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan contoh dilengkapkan.
SP disasar: 10.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menyelesaikan dy/dx = xy, mencari penyelesaian am, kemudian penyelesaian khusus apabila diberi syarat awal, dan menyemak dengan pembezaan.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja penyelesaian dan semakan.
SP disasar: 10.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan pertumbuhan penduduk atau penyejukan kopi dengan persamaan pembezaan, menyelesaikannya dan menganalisis maksud pemalar dan jangka panjang.
Bukti hasil kerja: Model, penyelesaian dan tafsiran konteks.
SP disasar: 10.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menggunakan penggantian y = vx untuk mengubah persamaan kepada pemboleh ubah terpisah, menyelesaikannya dan menilai sama ada penggantian itu memudahkan penyelesaian.
Bukti hasil kerja: Penyelesaian dengan penggantian dan ulasan.
SP disasar: 10.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menyelesaikan persamaan pembezaan peringkat pertama (first-order differential equation) dengan pemboleh ubah boleh dipisahkan (separable variables), mentafsir penyelesaiannya dalam masalah sebenar dan menggunakan gantian yang diberi.
Bentuk boleh dipisahkan
Persamaan dy/dx = f(x)g(y) boleh ditulis sebagai (1/g(y)) dy = f(x) dx. Kamirkan kedua-dua belah: ∫ 1/g(y) dy = ∫ f(x) dx + c. Penyelesaian am (general solution) mengandungi pemalar sembarangan c; penyelesaian khusus (particular solution) diperoleh apabila syarat awal (initial condition) digunakan untuk mencari c.
Standard Pembelajaran (3)
- 10.2.1Find the integrating factor of a first-order linear differential equation and use it to find the general solution and a particular solution;
- 10.2.2Find and interpret the solution of a first-order linear differential equation in the context of a problem modelled by the differential equation;
- 10.2.3Use a given substitution to transform a first-order differential equation to one which is linear.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menyatakan bentuk piawai dy/dx + P(x)y = Q(x) dan faktor kamiran (integrating factor) e^∫P dx, dan mengenal pasti P dan Q daripada lima persamaan.
Bukti hasil kerja: Jadual P dan Q bagi persamaan yang diberi.
SP disasar: 10.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menggunakan faktor kamiran untuk menyelesaikan dy/dx + 2y = e^x, mencari penyelesaian am dan khusus.
Bukti hasil kerja: Penyelesaian langkah demi langkah.
SP disasar: 10.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan litar atau campuran larutan dengan persamaan linear peringkat pertama, menyelesaikannya dan menganalisis kelakuan jangka panjang penyelesaian.
Bukti hasil kerja: Model, penyelesaian dan tafsiran kelakuan jangka panjang.
SP disasar: 10.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada satu persamaan sesuai diselesaikan melalui pemboleh ubah terpisah atau faktor kamiran, menggunakan penggantian yang diberi bagi kes tak linear, dan mewajarkan pilihan kaedah.
Bukti hasil kerja: Ulasan pilihan kaedah dan penyelesaian.
SP disasar: 10.2.1, 10.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menggunakan faktor pengamir (integrating factor) untuk menyelesaikan persamaan pembezaan linear peringkat pertama (first-order linear differential equation), mentafsir penyelesaian dalam konteks dan menukar persamaan kepada bentuk linear melalui gantian.
Bentuk piawai dan faktor pengamir
Persamaan linear peringkat pertama: dy/dx + P(x)y = Q(x). Faktor pengamir I = e^(∫P(x) dx). Darab seluruh persamaan dengan I: d(Iy)/dx = IQ, maka Iy = ∫ IQ dx + c.
Semester 2Maclaurin Series
Standard Pembelajaran (4)
- 11.1.1Use repeated differentiation to obtain the first few terms of the Maclaurin series of a function;
- 11.1.2Identify the standard Maclaurin series for (1 + x)^n, where n ∈ ℚ, e^x, ln(1 + x), sin x and cos x;
- 11.1.3Use the standard Maclaurin series and the multiplication of Maclaurin series to find the series expansion of a function;
- 11.1.4Use differentiation or integration of a power series to find the first few terms of the series expansion of a function.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menulis siri Maclaurin piawai bagi (1 + x)^n, e^x, ln(1 + x), sin x dan cos x serta selang kesahan pada kad ringkas, lalu mengujinya secara lisan.
Bukti hasil kerja: Kad siri Maclaurin dan kuiz lisan.
SP disasar: 11.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menggunakan pembezaan berulang untuk mendapatkan beberapa sebutan siri Maclaurin (Maclaurin series) bagi e^(2x) dan cos x, serta menggandakan dua siri piawai.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja siri dan darab siri.
SP disasar: 11.1.1, 11.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan graf fungsi dengan polinomial Maclaurin bertertib 1, 3 dan 5 dalam perisian graf dan menganalisis bagaimana ketepatan berubah dengan x.
Bukti hasil kerja: Tangkapan skrin bandingan dan ulasan ketepatan.
SP disasar: 11.1.1, 11.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mengembangkan fungsi baharu seperti e^x sin x atau 1/(1 + x²) menggunakan kamiran atau pembezaan siri piawai, kemudian menyemak keputusan dengan perisian.
Bukti hasil kerja: Siri baharu terbitan dan semakan perisian.
SP disasar: 11.1.3, 11.1.4 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan mewakilkan fungsi sebagai siri Maclaurin (Maclaurin series) melalui pembezaan berulang, siri piawai, pendaraban siri serta pembezaan dan pengamiran siri kuasa.
Rumus siri Maclaurin
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ... + f⁽ʳ⁾(0)xʳ/r! + ... Cari terbitan berulang, nilaikan pada x = 0, dan gantikan ke dalam rumus.
Standard Pembelajaran (2)
- 11.2.1Use Maclaurin series to evaluate lim(x → 0) f(x)/g(x), where f(0) = g(0) = 0;
- 11.2.2Use Maclaurin series to approximate definite integrals.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan mengapa siri Maclaurin boleh digunakan untuk menilai had bentuk 0/0, dengan menulis kedua-dua fungsi sebagai siri.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan tulisan siri pembilang dan penyebut.
SP disasar: 11.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menilai had lim(x → 0) (sin x − x)/x³ dan lain-lain dengan siri Maclaurin, dan menganggar kamiran tentu seperti ∫₀^0.5 e^(−x²) dx.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja had dan anggaran kamiran.
SP disasar: 11.2.1, 11.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan anggaran kamiran daripada siri dengan nilai kalkulator bagi tiga bilangan sebutan, dan menganalisis kesan bilangan sebutan terhadap ralat.
Bukti hasil kerja: Jadual anggaran lawan nilai tepat.
SP disasar: 11.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai kecekapan siri Maclaurin berbanding kaedah lain bagi satu had dan satu kamiran yang tiada antiterbitan mudah, serta mewajarkan pilihan.
Bukti hasil kerja: Ulasan perbandingan kaedah.
SP disasar: 11.2.1, 11.2.2 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menggunakan siri Maclaurin untuk menilai had bentuk 0/0 dan menganggar nilai kamiran tentu (definite integral).
Had menggunakan siri
Jika f(0) = g(0) = 0, kembangkan f(x) dan g(x) sebagai siri Maclaurin, bahagikan pengangka dan penyebut dengan kuasa x terendah, kemudian biar x → 0.
Semester 2Numerical Methods
Standard Pembelajaran (3)
- 12.1.1Locate a root of an equation f(x) = 0 approximately by sketching graphs or by searching for a sign change of f(x) over an interval;
- 12.1.2Use the Newton-Raphson method to approximate a real root of an equation to a specified degree of accuracy;
- 12.1.3Determine whether a certain sequence of successive approximations fails to converge to the desired root.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan bagaimana perubahan tanda f(x) pada selang menunjukkan punca, dan mengenal pasti selang punca dengan graf serta jadual.
Bukti hasil kerja: Jadual tanda dan selang yang dikenal pasti.
SP disasar: 12.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mencari punca x³ − 2x − 5 = 0 menggunakan kaedah Newton-Raphson dengan lembaran hamparan hingga ketepatan 4 tempat perpuluhan.
Bukti hasil kerja: Hamparan lelaran dan jawapan hampiran.
SP disasar: 12.1.1, 12.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis mengapa lelaran Newton-Raphson gagal menumpu apabila nilai awal dekat titik pegun, dan membandingkan dengan nilai awal yang baik melalui graf.
Bukti hasil kerja: Perbandingan lelaran dan penjelasan kegagalan.
SP disasar: 12.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai tiga nilai awal bagi satu persamaan, meramal yang akan menumpu dan menguji ramalan melalui hamparan, serta mewajarkan pilihan nilai awal.
Bukti hasil kerja: Ramalan, hasil hamparan dan justifikasi.
SP disasar: 12.1.2, 12.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan mencari punca persamaan f(x) = 0 secara anggaran melalui graf dan perubahan tanda, kaedah Newton-Raphson (Newton-Raphson method), dan mengenal pasti bila lelaran gagal menumpu.
Perubahan tanda
Jika f selanjar pada [a, b] dan f(a) serta f(b) berlainan tanda, maka sekurang-kurangnya satu punca f(x) = 0 terletak dalam (a, b). Punca juga boleh dianggar daripada titik persilangan dua graf, contohnya eˣ = 3 − x.
Rumus Newton-Raphson
x(n+1) = x(n) − f(x(n))/f'(x(n)). Ulang sehingga dua anggaran berturut-turut sama pada darjah ketepatan yang dikehendaki.
Bila Newton-Raphson gagal menumpu
- f'(x₀) = 0: tangen mengufuk, pembahagian dengan sifar
- x₀ dekat titik pusingan: anggaran melompat jauh
- Anggaran berayun antara dua nilai
- Anggaran menumpu kepada punca lain yang tidak dikehendaki
Standard Pembelajaran (3)
- 12.2.1Use the trapezium rule to approximate a definite integral;
- 12.2.2Determine whether the trapezium rule gives an over-estimate or under-estimate based on a sketched graph and state the effects of increasing number of sub-intervals;
- 12.2.3Use Simpson’s rule to approximate a definite integral.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menulis rumus petua trapezium (trapezium rule) dan petua Simpson (Simpson’s rule) serta menyatakan syarat bilangan sub-selang bagi petua Simpson pada kad.
Bukti hasil kerja: Kad rumus dan syarat sub-selang.
SP disasar: 12.2.1, 12.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menganggar ∫ f(x) dx menggunakan petua trapezium dan Simpson dengan jadual nilai 4 sub-selang dalam hamparan.
Bukti hasil kerja: Jadual nilai dan anggaran kamiran.
SP disasar: 12.2.1, 12.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid melakar fungsi cekung ke atas atau ke bawah untuk menentukan sama ada petua trapezium memberi anggaran lebih atau kurang, dan menganalisis kesan menambah sub-selang.
Bukti hasil kerja: Lakaran dan jadual ralat mengikut bilangan sub-selang.
SP disasar: 12.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai ketepatan petua trapezium berbanding Simpson dengan nilai kamiran tepat dan menulis cadangan kaedah yang wajar bagi satu masalah.
Bukti hasil kerja: Jadual ketepatan dan cadangan kaedah.
SP disasar: 12.2.1, 12.2.2, 12.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menganggar kamiran tentu menggunakan petua trapezium (trapezium rule) dan petua Simpson (Simpson's rule), serta menilai sama ada anggaran terlebih atau terkurang.
Semester 3Probability
Standard Pembelajaran (4)
- 13.1.1Use counting principles;
- 13.1.2Find the probability of an event and its complement;
- 13.1.3Calculate the probabilities of the union and intersection of two events, and use the addition rule of probability P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);
- 13.1.4Determine whether two events are mutually exclusive.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid mengingat prinsip pengiraan (counting principles), kombinasi dan permutasi serta peraturan hukum pelengkap melalui permainan kad rumus berpasangan.
Bukti hasil kerja: Kad rumus yang dipadankan dan jawapan lisan.
SP disasar: 13.1.1, 13.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid melambung dadu dan syiling 50 kali, mencatat hasil dalam jadual, lalu mengira kebarangkalian peristiwa gabungan menggunakan P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Bukti hasil kerja: Jadual lambungan dan pengiraan kebarangkalian.
SP disasar: 13.1.2, 13.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis jadual dua hala data murid (contoh: jantina dan aliran) untuk menentukan sama ada dua peristiwa saling eksklusif (mutually exclusive) dan menerangkan justifikasinya dengan P(A ∩ B).
Bukti hasil kerja: Jadual dua hala dan justifikasi bertulis.
SP disasar: 13.1.3, 13.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai dakwaan penganjur cabutan bertuah tentang peluang menang menggunakan prinsip pengiraan, kemudian menyatakan sama ada dakwaan itu munasabah dan mengapa.
Bukti hasil kerja: Pengiraan bertulis dan ulasan tentang dakwaan penganjur.
SP disasar: 13.1.1, 13.1.2 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menggunakan prinsip pembilangan (counting principles) untuk mengira kebarangkalian (probability) peristiwa tunggal, pelengkap, kesatuan dan persilangan, serta menentukan peristiwa saling eksklusif (mutually exclusive).
Kebarangkalian dan pelengkap
P(A) = n(A)/n(S) bagi kesudahan yang sama mungkin. 0 ≤ P(A) ≤ 1. Peristiwa pelengkap (complement) A' memenuhi P(A') = 1 − P(A).
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). A dan B saling eksklusif jika A ∩ B = ∅, iaitu P(A ∩ B) = 0, maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Standard Pembelajaran (4)
- 13.2.1Calculate conditional probabilities and use the multiplication rule of probability P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B);
- 13.2.2Determine whether two events are independent;
- 13.2.3Use the total probability rule for an event splits over two or three mutually exclusive events;
- 13.2.4Use the formula for Bayes’ theorem.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan beza P(A | B) dan P(A ∩ B) menggunakan gambar rajah pokok kebarangkalian dengan dua peringkat dan menyebut peraturan darab.
Bukti hasil kerja: Gambar rajah pokok dan penerangan lisan.
SP disasar: 13.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira kebarangkalian bersyarat dan menggunakan peraturan darab bagi pengambilan bola tanpa pemulangan, kemudian menguji kebebasan dua peristiwa dengan P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan ujian kebebasan.
SP disasar: 13.2.1, 13.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menyelesaikan masalah ujian saringan kesihatan menggunakan peraturan kebarangkalian penuh (total probability rule) dan teorem Bayes (Bayes’ theorem), dan menganalisis mengapa keputusan positif sebenar rendah apabila penyakit jarang.
Bukti hasil kerja: Jadual kebarangkalian dan analisis kumpulan.
SP disasar: 13.2.3, 13.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai penjelasan dua rakan tentang masalah kebarangkalian bersyarat (satu tersilap kerana menganggap bebas) dan menulis pembetulan dengan alasan.
Bukti hasil kerja: Ulasan bertulis dan penyelesaian dibetulkan.
SP disasar: 13.2.2, 13.2.3, 13.2.4 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan mengira kebarangkalian bersyarat (conditional probability), menguji peristiwa tak bersandar (independent events), dan menggunakan petua kebarangkalian jumlah (total probability rule) serta teorem Bayes (Bayes' theorem).
Semester 3Discrete Probability Distributions
Standard Pembelajaran (4)
- 14.1.1Identify a discrete random variable and its probability distribution;
- 14.1.2Construct a probability distribution table for a discrete random variable relating to a given situation;
- 14.1.3Use the probability distribution function or cumulative distribution function of a discrete random variable to find the probability of an event;
- 14.1.4Calculate the mean and variance of a discrete random variable X and its linear transformations aX + b.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid membezakan pemboleh ubah rawak diskret (discrete random variable) daripada selanjar melalui pengelasan kad contoh, kemudian menyatakan nilai yang boleh diambil.
Bukti hasil kerja: Kad pengelasan dan penjelasan lisan.
SP disasar: 14.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid membina jadual taburan kebarangkalian (probability distribution table) bagi hasil campuran dua dadu dan menggunakan fungsi taburan longgokan (cumulative distribution function) untuk mengira P(X ≤ k).
Bukti hasil kerja: Jadual taburan dan pengiraan P(X ≤ k).
SP disasar: 14.1.2, 14.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mengira E(X) dan Var(X) bagi X dan aX + b, lalu menganalisis kesan a dan b terhadap min dan varians melalui jadual perbandingan.
Bukti hasil kerja: Jadual min dan varians X lawan aX + b.
SP disasar: 14.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu permainan peluang beserta hadiah, menulis jadual taburan, menghitung jangkaan keuntungan penganjur dan menetapkan harga tiket yang adil.
Bukti hasil kerja: Rekaan permainan, jadual taburan dan pengiraan jangkaan.
SP disasar: 14.1.2, 14.1.3, 14.1.4 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan mengenal pasti pemboleh ubah rawak diskret (discrete random variable), membina jadual taburan kebarangkalian, menggunakan fungsi taburan longgokan (cumulative distribution function) dan mengira min serta varians.
Pemboleh ubah rawak diskret
Pemboleh ubah rawak diskret X mengambil nilai terbilang (contoh 0, 1, 2, ...). Taburan kebarangkaliannya memenuhi 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 dan Σ P(X = x) = 1.
Standard Pembelajaran (4)
- 14.2.1State the conditions under which a random variable has a binomial distribution as a probability model, and use the binomial probability distribution function;
- 14.2.2Find and use the mean and variance of a binomial distribution;
- 14.2.3State the conditions under which a random variable has a Poisson distribution as a probability model, and use the Poisson probability distribution function;
- 14.2.4Find and use the mean and variance of a Poisson distribution.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menyenaraikan syarat taburan binomial (binomial) dan Poisson (Poisson) pada kad, kemudian memadankan situasi harian dengan taburan yang sesuai.
Bukti hasil kerja: Kad syarat dan padanan situasi.
SP disasar: 14.2.1, 14.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menggunakan fungsi kebarangkalian binomial untuk bilangan unit rosak dalam sampel dan Poisson untuk bilangan panggilan sejam, serta mengira min dan varians.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan P(X = r), min dan varians.
SP disasar: 14.2.1, 14.2.2, 14.2.3, 14.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan data sebenar kiraan kejadian dengan taburan Poisson yang dipadankan menggunakan hamparan dan menganalisis sama ada syarat dipenuhi.
Bukti hasil kerja: Hamparan data dan ulasan kesesuaian model.
SP disasar: 14.2.3, 14.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada binomial atau Poisson lebih sesuai bagi tiga situasi dan mewajarkan pilihan dengan merujuk syarat taburan.
Bukti hasil kerja: Jadual keputusan dan justifikasi bertulis.
SP disasar: 14.2.1, 14.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menyatakan syarat dan menggunakan taburan binomial (binomial distribution) dan taburan Poisson (Poisson distribution), termasuk min dan variansnya.
Syarat taburan binomial X ~ B(n, p)
- Bilangan cubaan n tetap
- Setiap cubaan hanya dua kesudahan: berjaya atau gagal
- Kebarangkalian berjaya p malar
- Cubaan tak bersandar antara satu sama lain
Syarat taburan Poisson X ~ Po(λ)
- Peristiwa berlaku secara rawak dalam selang masa atau ruang
- Peristiwa berlaku secara tak bersandar
- Kadar purata λ malar
- Peristiwa berlaku satu demi satu (tidak serentak)
Semester 3Continuous Probability Distributions
Standard Pembelajaran (4)
- 15.1.1Identify a continuous random variable and its probability density function;
- 15.1.2Determine the probability density function of a continuous random variable given its cumulative distribution function;
- 15.1.3Use the probability density function or cumulative distribution function of a continuous random variable to find the probability of an event;
- 15.1.4Calculate the mean and variance of a continuous random variable X and its linear transformations aX + b.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan beza fungsi ketumpatan kebarangkalian (probability density function) dengan jadual taburan diskret dan menyatakan syarat f(x) ≥ 0 serta luas jumlah = 1.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan senarai syarat fungsi ketumpatan.
SP disasar: 15.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengintegrasi f(x) untuk mencari nilai pemalar k, mengira P(a < X < b) dan memperoleh fungsi taburan longgokan F(x) daripada f(x).
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja integrasi dan nilai k.
SP disasar: 15.1.1, 15.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menerbitkan f(x) daripada F(x) bagi fungsi cebis demi cebis, dan mengira min serta varians X dan aX + b, kemudian membandingkan hasil.
Bukti hasil kerja: Terbitan f(x) dan jadual min serta varians.
SP disasar: 15.1.2, 15.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada tiga fungsi yang diberi ialah fungsi ketumpatan sah, mewajarkan keputusan dengan syarat dan pengiraan.
Bukti hasil kerja: Justifikasi bertulis bagi setiap fungsi.
SP disasar: 15.1.1, 15.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan mengenal pasti pemboleh ubah rawak selanjar (continuous random variable) dan fungsi ketumpatan kebarangkalian (probability density function), menghubungkannya dengan fungsi taburan longgokan, serta mengira kebarangkalian, min dan varians.
Fungsi ketumpatan kebarangkalian
Pemboleh ubah rawak selanjar X mempunyai f(x) ≥ 0 bagi semua x dan ∫ f(x) dx = 1 atas seluruh julat. P(X = a) = 0, jadi P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = ∫ dari a hingga b bagi f(x) dx.
Standard Pembelajaran (4)
- 15.2.1Describe the general features of a normal distribution as a probability model in relation to its mean and standard deviation;
- 15.2.2Standardise a normal random variable and use the standard normal distribution table;
- 15.2.3Find P(X < x) or a related probability, given x, μ and σ, and obtain a relation between x, μ and σ, given P(X < x) or a related probability;
- 15.2.4Use a normal distribution, with a continuity correction, as an approximation to a binomial distribution where appropriate.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan ciri taburan normal (normal distribution) iaitu bentuk loceng, simetri dan kesan μ serta σ dengan melaras lengkung dalam perisian graf.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan lakaran lengkung dengan μ, σ berlainan.
SP disasar: 15.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menstandardkan pemboleh ubah (Z = (X − μ)/σ), menggunakan jadual normal piawai untuk mencari P(X < x), dan mencari x diberi kebarangkalian.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dengan jadual normal.
SP disasar: 15.2.2, 15.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan data sebenar seperti tinggi murid sekolah dengan taburan normal, dan menganalisis μ serta σ daripada dua kebarangkalian yang diberi.
Bukti hasil kerja: Pengiraan μ dan σ serta lakaran lengkung.
SP disasar: 15.2.2, 15.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada penghampiran normal dengan pembetulan kesinambungan (continuity correction) sesuai bagi taburan binomial dan membandingkan dengan nilai binomial tepat.
Bukti hasil kerja: Jadual perbandingan nilai tepat lawan hampiran serta justifikasi.
SP disasar: 15.2.4 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menghuraikan taburan normal (normal distribution), menstandardkan pemboleh ubah, menggunakan jadual normal piawai dan menggunakan pembetulan keselanjaran (continuity correction) untuk menganggar taburan binomial.
Penstandardan
Z = (X − μ)/σ menukar X ~ N(μ, σ²) kepada Z ~ N(0, 1). Jadual normal piawai memberi Φ(z) = P(Z < z). Gunakan P(Z > z) = 1 − Φ(z) dan Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Semester 3Sampling Distributions and Estimation
Standard Pembelajaran (3)
- 16.1.1Recognise that a sample statistic based on data obtained by random sampling is a random variable and has a sampling distribution;
- 16.1.2State the probability distribution of the sample mean from a normal population with known variance and use the central limit theorem;
- 16.1.3State the probability distribution of the sample proportion for a large sample size.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid mengambil lima sampel kecil daripada kumpulan kad nombor, mengira min setiap sampel dan menjelaskan bahawa statistik sampel ialah pemboleh ubah rawak.
Bukti hasil kerja: Jadual min sampel dan penjelasan lisan.
SP disasar: 16.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira taburan min sampel dan proporsi sampel bagi populasi tertentu serta menggunakan teorem had pusat (central limit theorem) untuk mengira kebarangkalian.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja taburan persampelan dan kebarangkalian.
SP disasar: 16.1.2, 16.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mengumpul min 30 sampel secara simulasi dan menganalisis bagaimana saiz n mempengaruhi sebaran min sampel, serta membandingkan dengan teori.
Bukti hasil kerja: Plot simulasi dan analisis kesan saiz sampel.
SP disasar: 16.1.1, 16.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada teorem had pusat boleh digunakan bagi tiga situasi populasi bukan normal dengan saiz sampel berbeza dan mewajarkan keputusan.
Bukti hasil kerja: Keputusan dengan justifikasi saiz sampel.
SP disasar: 16.1.2, 16.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan memahami bahawa statistik sampel (sample statistic) ialah pemboleh ubah rawak yang mempunyai taburan persampelan (sampling distribution), termasuk taburan min sampel dan kadar sampel.
Statistik sampel sebagai pemboleh ubah rawak
Sampel rawak berbeza memberi nilai statistik berbeza (contoh min sampel x̄ atau kadar sampel p̂). Oleh itu statistik sampel ialah pemboleh ubah rawak, dan taburan semua nilainya dipanggil taburan persampelan.
Standard Pembelajaran (5)
- 16.2.1Calculate an unbiased estimate for a population mean and a population variance based on a random sample;
- 16.2.2Find and interpret a confidence interval for a population mean based on a random sample from a normal population with known variance or based on a large random sample from a non-normal population with known variance;
- 16.2.3Find and interpret a confidence interval for a population mean based on a small random sample from a normal population with unknown variance or based on a large random sample from any population with unknown variance;
- 16.2.4Find and interpret a confidence interval for a population proportion based on a large random sample;
- 16.2.5Determine the sample size required to obtain a confidence interval, given the confidence level and margin of error.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid mengingat rumus penganggar saksama (unbiased estimate) bagi min dan varians populasi dan memadankan nilai z kritikal bagi paras keyakinan lazim pada kad.
Bukti hasil kerja: Kad rumus dan nilai z yang dipadankan.
SP disasar: 16.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira anggaran saksama bagi min dan varians daripada data sampel, dan selang keyakinan (confidence interval) bagi min dan proporsi menggunakan nilai z atau t.
Bukti hasil kerja: Pengiraan selang keyakinan bagi tiga kes.
SP disasar: 16.2.1, 16.2.2, 16.2.3, 16.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mensimulasi 20 selang keyakinan 90% dan menganalisis berapa banyak yang mengandungi min sebenar, serta menghuraikan tafsiran paras keyakinan.
Bukti hasil kerja: Hasil simulasi dan tafsiran paras keyakinan.
SP disasar: 16.2.2, 16.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka tinjauan kecil tentang pendapat murid, menentukan saiz sampel diperlukan bagi margin ralat dan paras keyakinan yang ditetapkan, dan menulis cadangan reka bentuk.
Bukti hasil kerja: Reka bentuk tinjauan, pengiraan saiz sampel dan ulasan.
SP disasar: 16.2.4, 16.2.5 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan mengira anggaran saksama (unbiased estimate) bagi min dan varians populasi, membina dan mentafsir selang keyakinan (confidence interval) bagi min dan kadar populasi, serta menentukan saiz sampel.
Semester 3Hypothesis Testing
Standard Pembelajaran (3)
- 17.1.1Explain what is meant by a null hypothesis, alternative hypothesis, test statistic and critical region in hypothesis testing;
- 17.1.2Distinguish between the significance level and the p-value, and between Type I error and Type II error of a hypothesis test;
- 17.1.3State the hypothesis testing procedure based on the critical value approach.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid memadankan istilah ujian hipotesis (hypothesis test): hipotesis nol, hipotesis alternatif, statistik ujian, rantau genting, aras keertian dan nilai p dengan takrifnya.
Bukti hasil kerja: Kad padanan istilah dan takrif.
SP disasar: 17.1.1, 17.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan beza ralat Jenis I dan Jenis II dalam konteks ujian perubatan, dan membezakan aras keertian dengan nilai p dengan contoh.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan jadual perbezaan ralat.
SP disasar: 17.1.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menyusun langkah prosedur ujian hipotesis dengan pendekatan nilai genting (critical value approach) menggunakan kad langkah bercampur.
Bukti hasil kerja: Susunan langkah yang betul dan penjelasan.
SP disasar: 17.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis kes ujian dengan dua aras keertian berlainan dan menerangkan bagaimana keputusan serta risiko ralat Jenis I berubah.
Bukti hasil kerja: Jadual keputusan pada dua aras keertian.
SP disasar: 17.1.1, 17.1.2, 17.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menerangkan unsur pengujian hipotesis (hypothesis testing): hipotesis nol, hipotesis alternatif, statistik ujian, rantau genting, aras keertian, nilai-p, ralat Jenis I dan Jenis II, serta prosedur pendekatan nilai genting.
Istilah pengujian hipotesis
- Hipotesis nol H₀ (null hypothesis)
- Pernyataan tentang parameter yang dianggap benar, mengandungi tanda =
- Hipotesis alternatif H₁ (alternative hypothesis)
- Pernyataan yang diterima jika H₀ ditolak (≠, < atau >)
- Statistik ujian (test statistic)
- Nilai dikira daripada sampel untuk membuat keputusan, contoh Z atau T
- Rantau genting (critical region)
- Set nilai statistik ujian yang menyebabkan H₀ ditolak
- Aras keertian α (significance level)
- Kebarangkalian menolak H₀ apabila H₀ benar, ditetapkan sebelum ujian
- Nilai-p (p-value)
- Kebarangkalian mendapat statistik ujian sekurang-kurangnya seekstrem yang dicerap jika H₀ benar
Keputusan menggunakan nilai-p
Tolak H₀ jika nilai-p < α. Contoh: nilai-p = 0.03 dan α = 0.05, maka H₀ ditolak; tetapi pada α = 0.01, H₀ tidak ditolak.
Standard Pembelajaran (5)
- 17.2.1State the null and alternative hypotheses for a one-tailed or two-tailed hypothesis test concerning a population mean;
- 17.2.2Carry out a hypothesis test concerning a population mean based on a random sample from a normal population with known variance or based on a large random sample from a non-normal population with known variance;
- 17.2.3Carry out a hypothesis test concerning a population mean based on a small random sample from a normal population with unknown variance or based on a large random sample from any population with unknown variance;
- 17.2.4State the null and alternative hypotheses for a one-tailed or two-tailed hypothesis test concerning a population proportion;
- 17.2.5Carry out a hypothesis test concerning a population proportion based on a large random sample.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menyatakan hipotesis nol dan alternatif bagi lima situasi min dan proporsi, mengenal pasti ujian satu hujung atau dua hujung.
Bukti hasil kerja: Kad hipotesis dan jawapan lisan.
SP disasar: 17.2.1, 17.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menjalankan ujian z dan ujian t bagi min populasi serta ujian bagi proporsi, dengan statistik ujian, nilai genting dan kesimpulan dalam konteks.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja ujian hipotesis lengkap.
SP disasar: 17.2.2, 17.2.3, 17.2.5 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis data sebenar kecil (contoh: masa menunggu di kantin) untuk memilih ujian z atau t dan menjustifikasi pilihan berdasarkan saiz sampel dan varians.
Bukti hasil kerja: Jadual pemilihan ujian dan justifikasi.
SP disasar: 17.2.2, 17.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai dakwaan syarikat tentang purata hayat produk menggunakan data sampel, membuat keputusan pada aras 5% dan menulis ulasan kritikal tentang had kesimpulan.
Bukti hasil kerja: Laporan ringkas keputusan dan had kesimpulan.
SP disasar: 17.2.2, 17.2.3, 17.2.5 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan menyatakan hipotesis dan menjalankan ujian hipotesis bagi min populasi (population mean) dan kadar populasi (population proportion) untuk ujian satu hujung (one-tailed) dan dua hujung (two-tailed).
Semester 3Correlation and Regression
Standard Pembelajaran (4)
- 18.1.1Plot a scatter diagram and determine whether there is any plausible linear relationship between two variables;
- 18.1.2Calculate and interpret the Pearson correlation coefficient;
- 18.1.3Calculate and interpret the Spearman rank correlation coefficient;
- 18.1.4State the appropriateness and limitations of the Pearson correlation coefficient and the Spearman rank correlation coefficient.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid melukis rajah serak (scatter diagram) daripada sepuluh pasangan data dan menyatakan jenis hubungan: positif, negatif atau tiada.
Bukti hasil kerja: Rajah serak dan pernyataan jenis hubungan.
SP disasar: 18.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira pekali korelasi Pearson (Pearson correlation coefficient) dan pekali korelasi pangkat Spearman (Spearman rank correlation coefficient) bagi data yang sama dan menafsir nilainya.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan tafsiran r dan rₛ.
SP disasar: 18.1.2, 18.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan r dan rₛ bagi data dengan titik terpencil, menganalisis mengapa nilai berbeza dan menerangkan had kedua-dua pekali.
Bukti hasil kerja: Jadual perbandingan dan analisis titik terpencil.
SP disasar: 18.1.2, 18.1.3, 18.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai dakwaan akhbar yang menyimpulkan sebab akibat daripada korelasi tinggi dan menulis hujah balas dengan menyatakan had pekali.
Bukti hasil kerja: Hujah bertulis tentang korelasi bukan sebab akibat.
SP disasar: 18.1.2, 18.1.4 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan memplot gambar rajah serakan (scatter diagram), mengira dan mentafsir pekali korelasi Pearson (Pearson correlation coefficient) dan pekali korelasi pangkat Spearman (Spearman rank correlation coefficient), serta menilai kesesuaiannya.
Gambar rajah serakan
Plot pasangan (x, y). Titik yang tertabur hampir pada satu garis lurus menunjukkan hubungan linear munasabah: menaik bermakna korelasi positif, menurun bermakna korelasi negatif, bertaburan rawak bermakna tiada korelasi linear.
Standard Pembelajaran (4)
- 18.2.1Find the equation of an estimated least squares regression line of y on x;
- 18.2.2Interpret the values of a and b in a regression line, y = a + bx;
- 18.2.3Use a regression line to make predictions by interpolation or extrapolation, and explain any uncertainty in an extrapolation;
- 18.2.4Use a square, reciprocal or logarithmic transformation of variables to obtain linearity in regression analysis.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan makna kecerunan b dan pintasan a dalam y = a + bx daripada contoh sebenar, seperti jualan lawan suhu, secara lisan.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan makna a dan b.
SP disasar: 18.2.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira garis regresi kuasa dua terkecil (least squares regression line) bagi data dan menggunakannya untuk meramal nilai y melalui interpolasi.
Bukti hasil kerja: Persamaan garis regresi dan ramalan.
SP disasar: 18.2.1, 18.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan ramalan interpolasi lawan ekstrapolasi (extrapolation) dan menganalisis ketakpastian ekstrapolasi menggunakan plot data.
Bukti hasil kerja: Jadual ramalan dan ulasan ketakpastian.
SP disasar: 18.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu set data tak linear, menggunakan penjelmaan kuasa dua, salingan atau logaritma untuk meluruskan data, dan menulis model regresi akhir.
Bukti hasil kerja: Data, penjelmaan dan model regresi yang dibina.
SP disasar: 18.2.4 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Ringkasan nota
Anda akan mencari garis regresi kuasa dua terkecil (least squares regression line) y atas x, mentafsir pemalarnya, membuat ramalan dan menggunakan penjelmaan pemboleh ubah untuk mendapat hubungan linear.
Garis regresi y atas x
y = a + bx dengan b = Sxy/Sxx dan a = ȳ − b x̄. Garis ini meminimumkan jumlah kuasa dua sisihan menegak dan sentiasa melalui (x̄, ȳ).
Tafsiran pemalar
- b: perubahan purata y apabila x bertambah satu unit
- b > 0: y meningkat dengan x; b < 0: y menurun
- a: nilai anggaran y apabila x = 0 (bermakna hanya jika x = 0 munasabah)
Sijil Penghargaan SistemGuru.My
Siapkan semua 38 unit untuk menerima Sijil Penghargaan dengan kod pengesahan.